Редици на Фурие срещу преобразуване на Фурие
Редът на Фурие разлага периодична функция на сбор от синуси и косинуси с различни честоти и амплитуди. Редът на Фурие е клон на анализа на Фурие и е въведен от Джоузеф Фурие. Преобразуването на Фурие е математическа операция, която разделя сигнала на съставните му честоти. Оригиналният сигнал, който се променя с течение на времето, се нарича представяне на сигнала във времева област. Трансформацията на Фурие се нарича представяне на сигнал в честотна област, тъй като зависи от честотата. Както представянето на сигнал в честотна област, така и процесът, използван за трансформиране на този сигнал в честотната област, се наричат трансформация на Фурие.
Какво е ред на Фурие?
Както бе споменато по-рано, редът на Фурие е разширение на периодична функция, използвайки безкрайна сума от синуси и косинуси. Серията на Фурие първоначално е разработена при решаване на топлинни уравнения, но по-късно се установява, че същата техника може да се използва за решаване на голям набор от математически проблеми, особено проблемите, които включват линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Сега сериите на Фурие имат приложения в голям брой области, включително електротехника, анализ на вибрации, акустика, оптика, обработка на сигнали, обработка на изображения, квантова механика и иконометрия. Редовете на Фурие използват отношенията на ортогоналност на функциите синус и косинус. Изчисляването и изследването на редовете на Фурие е известно като хармоничен анализ и е много полезно при работа с произволни периодични функции, тъй като позволява разделянето на функцията на прости термини, които могат да се използват за получаване на решение на първоначалния проблем.
Какво е трансформация на Фурие?
Трансформацията на Фурие дефинира връзката между сигнал във времевата област и неговото представяне в честотната област. Преобразуването на Фурие разлага функция на осцилаторни функции. Тъй като това е трансформация, оригиналният сигнал може да бъде получен от познаването на трансформацията, като по този начин не се създава или губи информация в процеса. Изследването на редовете на Фурие всъщност дава мотивация за трансформацията на Фурие. Поради свойствата на синусите и косинусите е възможно да се възстанови количеството на всяка вълна, която допринася за сумата, като се използва интеграл. Преобразуването на Фурие има някои основни свойства като линейност, транслация, модулация, мащабиране, конюгиране, двойственост и конволюция. Трансформацията на Фурие се прилага при решаването на диференциални уравнения, тъй като трансформацията на Фурие е тясно свързана с трансформацията на Лаплас. Преобразуването на Фурие се използва и в ядрено-магнитен резонанс (ЯМР) и в други видове спектроскопия.
Разлика между редове на Фурие и преобразуване на Фурие
Редът на Фурие е разширение на периодичния сигнал като линейна комбинация от синуси и косинуси, докато преобразуването на Фурие е процес или функция, използвана за преобразуване на сигнали от времева област в честотна област. Серията на Фурие е дефинирана за периодични сигнали и трансформацията на Фурие може да се приложи към апериодични (появяващи се без периодичност) сигнали. Както бе споменато по-горе, изучаването на редовете на Фурие всъщност дава мотивация за трансформацията на Фурие.
