Лаплас срещу трансформации на Фурие
Както трансформацията на Лаплас, така и трансформацията на Фурие са интегрални трансформации, които най-често се използват като математически методи за решаване на математически моделирани физически системи. Процесът е прост. Сложен математически модел се преобразува в по-прост, разрешим модел с помощта на интегрална трансформация. След като по-простият модел бъде решен, се прилага обратната интегрална трансформация, която ще предостави решението на оригиналния модел.
Например, тъй като повечето от физическите системи водят до диференциални уравнения, те могат да бъдат преобразувани в алгебрични уравнения или в по-ниска степен лесно разрешими диференциални уравнения с помощта на интегрална трансформация. Тогава решаването на проблема ще стане по-лесно.
Какво представлява трансформацията на Лаплас?
Дадена е функция f (t) на реална променлива t, нейната трансформация на Лаплас се определя от интеграла [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (когато съществува), което е функция на комплексна променлива s. Обикновено се означава с L { f (t)}. Обратното преобразуване на Лаплас на функция F (s) се приема за функция f (t) по такъв начин, че L { f (t)}=F (s), и в обичайната математическа нотация ние пишем, L-1{ F (s)}=f (t). Обратната трансформация може да бъде направена уникална, ако нулевите функции не са разрешени. Човек може да идентифицира тези два като линейни оператори, дефинирани във функционалното пространство, и също така е лесно да се види, че L -1{ L { f (t)}}=f (t), ако нулевите функции не са разрешени.
Следващата таблица изброява трансформациите на Лаплас на някои от най-често срещаните функции.
Какво е трансформацията на Фурие?
Дадена е функция f (t) на реална променлива t, нейното преобразуване на Лаплас се определя от интеграла [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (когато съществува) и обикновено се означава с F { f (T)}. Обратното преобразуване F -1{ F (α)} се дава от интеграла [латекс] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Преобразуването на Фурие също е линейно и може да се разглежда като оператор, дефиниран във функционалното пространство.
Използвайки преобразуването на Фурие, оригиналната функция може да бъде написана по следния начин, при условие че функцията има само краен брой прекъсвания и е абсолютно интегрируема.
Каква е разликата между трансформациите на Лаплас и Фурие?
- Преобразуване на Фурие на функция f (t) се дефинира като [латекс] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], докато трансформацията на Лаплас е дефинирана като [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Трансформацията на Фурие е дефинирана само за функции, дефинирани за всички реални числа, докато трансформацията на Лаплас не изисква функцията да бъде дефинирана върху набор от отрицателни реални числа.
- Трансформацията на Фурие е специален случай на трансформацията на Лаплас. Вижда се, че и двете съвпадат за неотрицателни реални числа. (т.е. вземете s в Лаплас като iα + β, където α и β са реални, така че e β=1/ √(2ᴫ))
- Всяка функция, която има трансформация на Фурие, ще има трансформация на Лаплас, но не и обратното.
