Power Series срещу Taylor Series
В математиката реалната последователност е подреден списък от реални числа. Формално това е функция от множеството естествени числа в множеството реални числа. Ако an е nth член на последователност, ние обозначаваме последователността с или с 1, a 2, …, an, …. Например, разгледайте последователността 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Може да се обозначи като {1/n}.
Възможно е да се дефинира серия с помощта на последователности. Серията е сборът от членовете на последователност. Следователно за всяка последователност има свързана последователност и обратно. Ако {an} е разглежданата последователност, тогава серията, образувана от тази последователност, може да бъде представена като:
Така в горния пример свързаната поредица е 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Както подсказват имената, степенният ред е специален тип ред и се използва широко в числения анализ и свързаното с него математическо моделиране. Серията Тейлър е специална степенна серия, която предоставя алтернативен и лесен за манипулиране начин за представяне на добре познати функции.
Какво е степенен ред?
Степенна редица е редица от формата
което е конвергентно (евентуално) за някакъв интервал с център c. Коефициентите anмогат да бъдат реални или комплексни числа и не зависят от x; т.е. фиктивната променлива.
Например, като зададете an=1 за всяко n и c=0, степенната редица 1+x+x2 +…..+ x+… се получава. Лесно е да се забележи, че когато x ε (-1, 1), този степенен ред се сближава до 1/(1-x).
Степенен ред се събира, когато x=c. Другите стойности на x, за които степенната редица се сближава, винаги ще приемат формата на отворен интервал с център c. Тоест, ще има стойност 0≤ R ≤ ∞, така че за всяко x, удовлетворяващо |x-c|≤ R, степенната редица е сходяща и за всяко x, удовлетворяващо |x-c|> R, степенната редица е разминаваща се. Тази стойност R се нарича радиус на сходимост на степенния ред (R може да приеме произволна реална стойност или положителна безкрайност).
Степеновите редове могат да се добавят, изваждат, умножават и делят, като се използват следните правила. Разгледайте двете степенни серии:
Тогава,
т.е. подобни термини се добавят или изваждат заедно. Освен това е възможно да се умножат и разделят двата степенни реда, като се използва идентичността,
Какво представлява поредицата Тейлър?
Редът на Тейлър е дефиниран за функция f (x), която е безкрайно диференцируема на интервал. Да приемем, че f (x) е диференцируемо на интервал с център c. След това степенната редица, дадена от
се нарича разширение в ред на Тейлър на функцията f (x) относно c. (Тук f(n) (c) обозначава nth производна при x=c). В Числения анализ краен брой членове в това безкрайно разширение се използват при изчисляване на стойности в точки, където серията е сходна към оригиналната функция.
За функция f (x) се казва, че е аналитична в интервала (a, b), ако за всяко x ε (a, b), редът на Тейлър от f (x) се сближава към функцията f (х). Например, 1/(1-x) е аналитично на (-1, 1), тъй като неговото разширение на Тейлър 1+x+x2+….+ x +… се сближава към функцията на този интервал и ex е аналитична навсякъде, тъй като серията на Тейлър от ex се сближава с e x за всяко реално число x.
Каква е разликата между степенните редове и редовете на Тейлър?
1. Редът на Тейлър е специален клас степенни редове, дефинирани само за функции, които са безкрайно диференцируеми на някакъв отворен интервал.
2. Серията Тейлър приема специална форма
като има предвид, че степенна серия може да бъде всяка серия от формата
