Аритметика срещу геометрична серия
Математическата дефиниция на серия е тясно свързана с последователностите. Поредицата е подреден набор от числа и може да бъде краен или безкраен набор. Поредица от числа, като разликата между два елемента е константа, е известна като аритметична прогресия. Поредица с постоянно частно от две последователни числа е известна като геометрична прогресия. Тези прогресии могат да бъдат крайни или безкрайни и ако са крайни, броят на членовете е изброим, в противен случай неизброим.
Общо взето сумата от елементите в една прогресия може да се дефинира като серия. Сумата от аритметична прогресия е известна като аритметична серия. По същия начин сумата от геометрична прогресия е известна като геометрична серия.
Повече за аритметичните серии
В аритметична серия последователните членове имат постоянна разлика.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; където a2 =a1 + d, a3 =a2 + d и така нататък.
Тази разлика d е известна като обща разлика, а членът nth е даден от an =a 1+ (n-1)d; където a1 е първият термин.
Поведението на серията се променя въз основа на общата разлика d. Ако общата разлика е положителна, прогресията клони към положителна безкрайност, а ако общата разлика е отрицателна, тя клони към отрицателна безкрайност.
Сумата на серията може да се получи по следната проста формула, която е разработена за първи път от индийския астроном и математик Арябхата.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
Сумата Sn може да бъде крайна или безкрайна в зависимост от броя на членовете.
Повече за геометричните серии
Геометричен ред е ред с константа на частното на последователните числа. Това е важна серия, открита при изследването на серията, поради свойствата, които притежава.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ariйени
Въз основа на съотношението r, поведението на серията може да се категоризира, както следва. r={|r|≥1 серия се разминава; r≤1 серия се събира}. Също така, ако r<0 серията осцилира, т.е. серията има редуващи се стойности.
Сумата на геометричната серия може да се изчисли по следната формула. Sn =a(1-r) / (1-r); където a е началният член и r е отношението. Ако съотношението r≤1, редът се сближава. За безкрайна серия стойността на конвергенцията се дава от Sn=a / (1-r).
Геометричните серии имат множество приложения в областта на физическите науки, инженерството и икономиката
Каква е разликата между аритметични и геометрични редове?
• Аритметичен ред е ред с постоянна разлика между два съседни члена.
• Геометричен ред е ред с постоянно частно между два последователни члена.
• Всички безкрайни аритметични редове са винаги разминаващи се, но в зависимост от съотношението, геометричните редове могат да бъдат или сходящи, или разминаващи се.
• Геометричните редове могат да имат колебания в стойностите; т.е. числата сменят знаците си алтернативно, но аритметичната серия не може да има колебания.
