Линейно уравнение срещу квадратно уравнение
В математиката алгебричните уравнения са уравнения, които се образуват с помощта на полиноми. Когато са изрично написани, уравненията ще бъдат във формата P(x)=0, където x е вектор от n неизвестни променливи и P е полином. Например P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 е алгебрично уравнение на две променливи, записани изрично. Освен това (x+y)3=3x2y – 3zy4 е алгебрично уравнение, но в имплицитна форма. Ще приеме формата Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, веднъж написано изрично.
Важна характеристика на алгебричното уравнение е неговата степен. Дефинира се като най-високата степен на членовете, срещащи се в уравнението. Ако членът се състои от две или повече променливи, сумата от показателите на всяка променлива ще се приеме за степен на члена. Забележете, че според тази дефиниция P(x, y)=0 е от степен 4, докато Q(x, y, z)=0 е от степен 5.
Линейните уравнения и квадратните уравнения са два различни вида алгебрични уравнения. Степента на уравнението е факторът, който ги отличава от останалите алгебрични уравнения.
Какво е линейно уравнение?
Линейното уравнение е алгебрично уравнение от степен 1. Например 4x + 5=0 е линейно уравнение на една променлива. x + y + 5z=0 и 4x=3w + 5y + 7z са линейни уравнения съответно с 3 и 4 променливи. Като цяло линейно уравнение от n променливи ще приеме формата m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Тук xi са неизвестните променливи, mi и b са реални числа, където всяко от mi не е нула.
Такова уравнение представлява хиперравнина в n-мерното евклидово пространство. По-специално, линейно уравнение с две променливи представлява права линия в декартова равнина, а линейно уравнение с три променливи представлява равнина в евклидово 3-пространство.
Какво е квадратно уравнение?
Квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен. x2 + 3x + 2=0 е квадратно уравнение с една променлива. x2 + y2 + 3x=4 и 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 са примери за квадратни уравнения съответно с 2 и 3 променливи.
В случай на една променлива общата форма на квадратно уравнение е ax2 + bx + c=0. Където a, b, c са реални числа, от които 'a' не е нула. Дискриминантът ∆=(b2 – 4ac) определя естеството на корените на квадратното уравнение. Корените на уравнението ще бъдат реално различни, реално подобни и сложни според това, че ∆ е положително, нула и отрицателно. Корените на уравнението могат лесно да бъдат намерени с помощта на формулата x=(- b ± √∆) / 2a.
В случая с две променливи общата форма ще бъде ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0 и това представлява конична форма (парабола, хипербола или елипса) в декартова равнина. В по-високите измерения този тип уравнения представляват хипер-повърхнини, известни като квадрики.
Каква е разликата между линейните и квадратните уравнения?
• Линейното уравнение е алгебрично уравнение от степен 1, докато квадратното уравнение е алгебрично уравнение от степен 2.
• В n-мерното евклидово пространство пространството на решенията на линейно уравнение с n-променлива е хиперравнина, докато това на квадратно уравнение с n-променлива е квадратна повърхност.
