Линейно уравнение срещу нелинейно уравнение
В математиката алгебричните уравнения са уравнения, които се образуват с помощта на полиноми. Когато са изрично написани, уравненията ще бъдат във формата P(x)=0, където x е вектор от n неизвестни променливи и P е полином. Например P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 е алгебрично уравнение в две променливи, записани изрично. Освен това (x+y)3 =3x2y – 3zy4 е алгебрично уравнение, но в неявна форма и ще приеме формата Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, веднъж написано изрично.
Важна характеристика на алгебричното уравнение е неговата степен. Дефинира се като най-високата степен на членовете, срещащи се в уравнението. Ако членът се състои от две или повече променливи, сумата от показателите на всяка променлива ще се приеме за степен на члена. Забележете, че според тази дефиниция P(x, y)=0 е от степен 5, докато Q(x, y, z)=0 е от степен 5.
Линейните уравнения и нелинейните уравнения са две дялове, дефинирани в набор от алгебрични уравнения. Степента на уравнението е факторът, който ги отличава един от друг.
Какво е линейно уравнение?
Линейното уравнение е алгебрично уравнение от степен 1. Например 4x + 5=0 е линейно уравнение на една променлива. x + y + 5z=0 и 4x=3w + 5y + 7z са линейни уравнения съответно с 3 и 4 променливи. Като цяло линейно уравнение от n променливи ще приеме формата m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Тук xi са неизвестните променливи, mi и b са реални числа, където всяко от mi не е нула.
Такова уравнение представлява хиперравнина в n-мерното евклидово пространство. По-специално, линейно уравнение с две променливи представлява права линия в декартова равнина, а линейно уравнение с три променливи представлява равнина в евклидово 3-пространство.
Какво е нелинейно уравнение?
Квадратното уравнение е алгебрично уравнение, което не е линейно. С други думи, нелинейното уравнение е алгебрично уравнение от степен 2 или по-висока. x2 + 3x + 2=0 е нелинейно уравнение с една променлива. x2 + y3+ 3xy=4 и 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 са примери за нелинейни уравнения съответно на 3 и 4 променливи.
Нелинейно уравнение от втора степен се нарича квадратно уравнение. Ако степента е 3, то се нарича кубично уравнение. Уравненията от степен 4 и степен 5 се наричат съответно уравнения на кварта и пета част. Доказано е, че не съществува аналитичен метод за решаване на нелинейно уравнение от степен 5 и това важи и за всяка по-висока степен. Разрешимите нелинейни уравнения представляват хипер повърхности, които не са хипер равнини.
Каква е разликата между линейно и нелинейно уравнение?
• Линейното уравнение е алгебрично уравнение от степен 1, но нелинейното уравнение е алгебрично уравнение от степен 2 или по-висока.
• Въпреки че всяко линейно уравнение е аналитично разрешимо, това не е така при нелинейните уравнения.
• В n-мерното евклидово пространство пространството на решенията на линейно уравнение с n-променлива е хипер равнина, докато това на нелинейно уравнение с n-променлива е хипер повърхност, която не е хипер равнина. (Квадрики, кубични повърхности и др.)
