Уравнение на разликата срещу диференциално уравнение
Природен феномен може да бъде описан математически чрез функции на редица независими променливи и параметри. Особено когато са изразени чрез функция на пространствена позиция и време, това води до уравнения. Функцията може да се промени с промяната на независимите променливи или параметрите. Безкрайно малка промяна, случваща се във функцията, когато една от нейните променливи се промени, се нарича производна на тази функция.
Диференциално уравнение е всяко уравнение, което съдържа производни на функция, както и самата функция. Просто диференциално уравнение е това на втория закон за движението на Нютон. Ако обект с маса m се движи с ускорение 'a' и върху него се въздейства със сила F, тогава вторият закон на Нютон ни казва, че F=ma. Тук отново „a“варира с времето, можем да пренапишем „a“като; a=dv/dt; v е скоростта. Скоростта е функция на пространството и времето, т.е. v=ds/dt; следователно 'a'=d2s/dt2
Имайки това предвид, можем да пренапишем втория закон на Нютон като диференциално уравнение;
‘F’ като функция на v и t – F(v, t)=mdv/dt, или
'F' като функция на s и t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Има два вида диференциални уравнения; обикновено диференциално уравнение, съкратено от ODE или частично диференциално уравнение, съкратено от PDE. Обикновеното диференциално уравнение ще има обикновени производни (производни само на една променлива) в него. Частичното диференциално уравнение ще има диференциални производни (производни на повече от една променлива) в него.
напр. F=m d2s/dt2 е ODE, докато α2 d 2u/dx2=du/dt е PDE, има производни на t и x.
Уравнението на разликата е същото като диференциалното уравнение, но ние го разглеждаме в различен контекст. В диференциалните уравнения независимата променлива като времето се разглежда в контекста на системата за непрекъснато време. В система с дискретно време ние наричаме функцията като уравнение на разликата.
Уравнението на разликата е функция на разликите. Разликите в независимите променливи са три вида; последователност от числа, дискретна динамична система и итерирана функция.
В поредица от числа промяната се генерира рекурсивно с помощта на правило за свързване на всяко число в поредицата с предишни числа в поредицата.
Уравнението на разликата в дискретна динамична система приема някакъв дискретен входен сигнал и произвежда изходен сигнал.
Уравнението на разликата е итерирана карта за итерирана функция. Например, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….е последователността на итерирана функция. f(y0) е първата итерация на y0 k-тата итерация ще бъде означена с fk (y0).
