Асоциативен срещу комутативен
В ежедневния ни живот трябва да използваме числа, когато трябва да измерим нещо. В хранителния магазин, на бензиностанцията и дори в кухнята трябва да събираме, изваждаме и умножаваме две или повече количества. От нашата практика ние извършваме тези изчисления доста лесно. Никога не забелязваме и не поставяме под въпрос защо извършваме тези операции по този конкретен начин. Или защо тези изчисления не могат да бъдат направени по различен начин. Отговорът се крие в начина, по който тези операции са дефинирани в математическата област на алгебрата.
В алгебрата операция, включваща две величини (като събиране) се дефинира като двоична операция. По-точно това е операция между два елемента от набор и тези елементи се наричат „операнд“. Много операции в математиката, включително аритметичните операции, споменати по-рано, и тези, които се срещат в теорията на множествата, линейната алгебра и математическата логика, могат да бъдат определени като двоични операции.
Има набор от управляващи правила, отнасящи се до конкретна двоична операция. Асоциативните и комутативните свойства са две основни свойства на двоичните операции.
Повече за комутативното свойство
Да предположим, че върху елементите A и B се изпълнява някаква двоична операция, означена със символа ⊗. Ако редът на операндите не влияе на резултата от операцията, тогава се казва, че операцията е комутативна. т.е. ако A ⊗ B=B ⊗ A тогава операцията е комутативна.
Аритметичните операции събиране и умножение са комутативни. Редът на числата, събрани или умножени заедно, не влияе на крайния отговор:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Но в случай на деление промяната в реда дава реципрочната стойност на другата, а при изваждане промяната дава отрицателната стойност на другата. Следователно, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 и 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 и 5 ÷ 4=1,25 [в този случай A, B ≠ 1 и 0]
Всъщност се казва, че изваждането е антикомутативно; където A – B=– (B – A).
Също така, логическите връзки, конюнкцията, дизюнкцията, импликацията и еквивалентността също са комутативни. Функциите на истината също са комутативни. Обединението и пресичането на множество операции са комутативни. Събирането и скаларното произведение на векторите също са комутативни.
Но векторното изваждане и векторното произведение не са комутативни (векторното произведение на два вектора е антикомутативно). Матричното събиране е комутативно, но умножението и изваждането не са комутативни.(Умножението на две матрици може да бъде комутативно в специални случаи, като умножението на матрица с нейната обратна или единична матрица; но определено матриците не са комутативни, ако матриците не са с еднакъв размер)
Повече за асоциативното свойство
Двоичната операция се нарича асоциативна, ако редът на изпълнение не влияе на резултата, когато има две или повече повторения на оператора. Разгледайте елементите A, B и C и двоичната операция ⊗. Операцията ⊗ се нарича асоциативна, ако
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
От основните аритметични функции само събирането и умножението са асоциативни.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Изваждането и делението не са асоциативни;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 и (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 и (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Логическите съединители дизюнкция, конюнкция и еквивалентност са асоциативни, както и множеството операции обединение и пресичане. Матрицата и векторното събиране са асоциативни. Скаларното произведение на векторите е асоциативно, но векторното произведение не е. Матричното умножение е асоциативно само при специални обстоятелства.
Каква е разликата между комутативно и асоциативно свойство?
• Както асоциативното свойство, така и комутативното свойство са специални свойства на двоичните операции и някои ги удовлетворяват, а други не.
• Тези свойства могат да се видят в много форми на алгебрични операции и други двоични операции в математиката, като например пресичането и обединението в теорията на множествата или логическите връзки.
• Разликата между комутативното и асоциативното е, че комутативното свойство гласи, че редът на елементите не променя крайния резултат, докато асоциативното свойство гласи, че редът, в който се изпълнява операцията, не влияе на крайния отговор.
