Успоредник срещу правоъгълник
Успоредник и правоъгълник са четириъгълници. Геометрията на тези фигури е била известна на човека от хиляди години. Темата е изрично разгледана в книгата „Елементи“, написана от гръцкия математик Евклид.
Успоредник
Паралелограммът може да се дефинира като геометрична фигура с четири страни, като срещуположните страни са успоредни една на друга. По-точно това е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Тази паралелна природа дава много геометрични характеристики на успоредниците.
Четириъгълникът е успоредник, ако са намерени следните геометрични характеристики.
• Две двойки противоположни страни са с еднаква дължина. (AB=DC, AD=BC)
• Две двойки срещуположни ъгли са еднакви по размер. ([латекс]D\шапка{A}B=B\шапка{C}D, A\шапка{D}C=A\шапка{B}C[/latex])
• Ако съседните ъгли са допълнителни [латекс]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Двойка страни, които са една срещу друга, са успоредни и еднакви по дължина. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагоналите се разполовяват (AO=OC, BO=OD)
• Всеки диагонал разделя четириъгълника на два еднакви триъгълника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Освен това сборът от квадратите на страните е равен на сбора от квадратите на диагоналите. Това понякога се нарича закон на паралелограма и има широко разпространени приложения във физиката и инженерството. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Всяка от горните характеристики може да се използва като свойства, след като се установи, че четириъгълникът е успоредник.
Площта на успоредника може да се изчисли чрез произведението на дължината на едната страна и височината на противоположната страна. Следователно площта на успоредника може да бъде изразена като
Площ на паралелограма=основа × височина=AB×h
Площта на успоредника не зависи от формата на отделния успоредник. Зависи само от дължината на основата и височината на перпендикуляра.
Ако страните на един успоредник могат да бъдат представени с два вектора, площта може да се получи чрез големината на векторното произведение (кръстосано произведение) на двата съседни вектора.
Ако страните AB и AD са представени съответно от векторите ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) и ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), площта на успоредник е даден от [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], където α е ъгълът между [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Следват някои разширени свойства на успоредника;
• Площта на успоредник е два пъти по-голяма от площта на триъгълник, образуван от някой от неговите диагонали.
• Площта на успоредника е разделена наполовина от която и да е права, минаваща през средата.
• Всяка неизродена афинна трансформация превръща успоредник в друг успоредник
• Паралелограм има ротационна симетрия от порядък 2
• Сумата от разстоянията от всяка вътрешна точка на успоредник до страните не зависи от местоположението на точката
Правоъгълник
Четириъгълник с четири прави ъгъла е известен като правоъгълник. Това е специален случай на успоредник, където ъглите между всеки две съседни страни са прави ъгли.
В допълнение към всички свойства на успоредника, допълнителни характеристики могат да бъдат разпознати, когато се разглежда геометрията на правоъгълника.
• Всеки ъгъл при върховете е прав ъгъл.
• Диагоналите са еднакви по дължина и се разполовяват. Следователно разполовените секции също са равни по дължина.
• Дължината на диагоналите може да се изчисли с помощта на теоремата на Питагор:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Формулата за площ се свежда до произведението на дължината и ширината.
Площ на правоъгълника=дължина × ширина
• Много симетрични свойства се намират на правоъгълник, като например;
– Правоъгълникът е цикличен, където всички върхове могат да бъдат поставени по периметъра на кръг.
– Това е равноъгълно, където всички ъгли са равни.
– Той е изогонален, където всички ъгли лежат в една и съща орбита на симетрия.
– Има както отражателна симетрия, така и ротационна симетрия.
Каква е разликата между успоредник и правоъгълник?
• Успоредник и правоъгълник са четириъгълници. Правоъгълникът е специален случай на успоредниците.
• Площта на всяко може да се изчисли с помощта на формулата база ×височина.
• Имайки предвид диагоналите;
– Диагоналите на успоредника се разполовяват един друг и разполовяват успоредника, за да образуват два еднакви триъгълника.
– Диагоналите на правоъгълника са еднакви по дължина и се разполовяват; разполовените секции са равни по дължина. Диагоналите разполовяват правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.
• Отчитане на вътрешните ъгли;
– Срещуположните вътрешни ъгли на успоредника са еднакви по големина. Два съседни вътрешни ъгъла са допълнителни
– И четирите вътрешни ъгъла на правоъгълника са прави ъгли.
• Имайки предвид страните;
– В успоредника сборът от квадратите на страните е равен на сбора от квадратите на диагонала (закон за успоредника)
– В правоъгълниците сборът от квадратите на двете съседни страни е равен на квадрата на диагонала в краищата. (Правило на Питагор)
