Успоредник срещу трапец
Успоредник и трапец (или трапец) са два изпъкнали четириъгълника. Въпреки че това са четириъгълници, геометрията на трапеца се различава значително от успоредниците.
Успоредник
Паралелограммът може да се дефинира като геометрична фигура с четири страни, като срещуположните страни са успоредни една на друга. По-точно това е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Тази паралелна природа дава много геометрични характеристики на успоредниците.
Четириъгълникът е успоредник, ако са намерени следните геометрични характеристики.
• Две двойки противоположни страни са с еднаква дължина. (AB=DC, AD=BC)
• Две двойки срещуположни ъгли са еднакви по размер. ([латекс]D\шапка{A}B=B\шапка{C}D, A\шапка{D}C=A\шапка{B}C[/latex])
• Ако съседните ъгли са допълнителни [латекс]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Двойка страни, които са една срещу друга, са успоредни и еднакви по дължина. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагоналите се разполовяват (AO=OC, BO=OD)
• Всеки диагонал разделя четириъгълника на два еднакви триъгълника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Освен това сборът от квадратите на страните е равен на сбора от квадратите на диагоналите. Това понякога се нарича закон на паралелограма и има широко разпространени приложения във физиката и инженерството. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Всяка от горните характеристики може да се използва като свойства, след като се установи, че четириъгълникът е успоредник.
Площта на успоредника може да се изчисли чрез произведението на дължината на едната страна и височината на противоположната страна. Следователно площта на успоредника може да бъде изразена като
Площ на паралелограма=основа × височина=AB×h
Площта на успоредника не зависи от формата на отделния успоредник. Зависи само от дължината на основата и височината на перпендикуляра.
Ако страните на един успоредник могат да бъдат представени с два вектора, площта може да се получи чрез големината на векторното произведение (кръстосано произведение) на двата съседни вектора.
Ако страните AB и AD са представени съответно от векторите ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) и ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), площта на успоредник е даден от [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], където α е ъгълът между [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Следват някои разширени свойства на успоредника;
• Площта на успоредник е два пъти по-голяма от площта на триъгълник, образуван от някой от неговите диагонали.
• Площта на успоредника е разделена наполовина от която и да е права, минаваща през средата.
• Всяка неизродена афинна трансформация превръща успоредник в друг успоредник
• Паралелограм има ротационна симетрия от порядък 2
• Сумата от разстоянията от всяка вътрешна точка на успоредник до страните не зависи от местоположението на точката
трапец
Трапец (или Trapezium на британски английски) е изпъкнал четириъгълник, при който поне две страни са успоредни и с различна дължина. Паралелните страни на трапеца са известни като основи, а другите две страни се наричат катети.
Следват основните характеристики на трапеца;
• Ако съседните ъгли не са на една и съща основа на трапеца, те са допълнителни ъгли. т.е. те се събират до 180° ([латекс]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/латекс])
• Двата диагонала на трапец се пресичат в еднакво отношение (съотношението между сеченията на диагоналите е равно).
• Ако a и b са основи и c, d са катети, дължините на диагоналите са дадени с
[латекс]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/латекс] йени
и
[латекс]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/латекс]йени
Площта на трапеца може да се изчисли по следната формула
Площ на трапец=[латекс]\frac{a+b}{2}\пъти h[/latex]
Каква е разликата между успоредник и трапец (трапец)?
• Както успоредникът, така и трапецът са изпъкнали четириъгълници.
• В успоредника и двете двойки противоположни страни са успоредни, докато в трапеца само една двойка е успоредна.
• Диагоналите на успоредника се разполовяват един друг (съотношение 1:1), докато диагоналите на трапеца се пресичат с постоянно съотношение между сеченията.
• Площта на успоредника зависи от височината и основата, докато площта на трапеца зависи от височината и средата на отсечката.
• Двата триъгълника, образувани от диагонал в успоредник, винаги са еднакви, докато триъгълниците на трапеца могат да бъдат еднакви или не.
