Успоредник срещу четириъгълник
Четириъгълниците и успоредниците са многоъгълници, открити в евклидовата геометрия. Успоредникът е частен случай на четириъгълника. Четириъгълниците могат да бъдат равнинни (2D) или 3-измерни, докато паралелограмите винаги са равнинни.
Четириъгълник
Четириъгълникът е многоъгълник с четири страни. Той има четири върха, а сумата от вътрешните ъгли е 3600 (2π rad). Четириъгълниците се класифицират в категории самопресичащи се и прости четириъгълници. Самопресичащите се четириъгълници имат две или повече страни, пресичащи се една в друга, и вътре в четириъгълника се образуват по-малки геометрични фигури (като триъгълници).
Простите четириъгълници също се делят на изпъкнали и вдлъбнати четириъгълници. Вдлъбнатите четириъгълници имат съседни страни, образуващи рефлексни ъгли вътре във фигурата. Простите четириъгълници, които нямат вътрешни рефлексни ъгли, са изпъкнали четириъгълници. Изпъкналите четириъгълници винаги могат да имат теселации.
Голяма част от геометрията на четириъгълниците в началните нива се отнася до изпъкналите четириъгълници. Някои четириъгълници са ни много познати от дните на началните училища. Следва диаграма, показваща различни изпъкнали четириъгълници.
Успоредник
Паралелограммът може да се дефинира като геометрична фигура с четири страни, като срещуположните страни са успоредни една на друга. По-точно това е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Тази паралелна природа дава много геометрични характеристики на успоредниците.
Четириъгълникът е успоредник, ако са намерени следните геометрични характеристики.
• Две двойки противоположни страни са с еднаква дължина. (AB=DC, AD=BC)
• Две двойки срещуположни ъгли са еднакви по размер. ([латекс]D\шапка{A}B=B\шапка{C}D, A\шапка{D}C=A\шапка{B}C[/latex])
• Ако съседните ъгли са допълнителни [латекс]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Двойка страни, които са една срещу друга, са успоредни и еднакви по дължина. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагоналите се разполовяват (AO=OC, BO=OD)
• Всеки диагонал разделя четириъгълника на два еднакви триъгълника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Освен това сборът от квадратите на страните е равен на сбора от квадратите на диагоналите. Това понякога се нарича закон на паралелограма и има широко разпространени приложения във физиката и инженерството. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Всяка от горните характеристики може да се използва като свойства, след като се установи, че четириъгълникът е успоредник.
Площта на успоредника може да се изчисли чрез произведението на дължината на едната страна и височината на противоположната страна. Следователно площта на успоредника може да бъде изразена като
Площ на паралелограма=основа × височина=AB×h
Площта на успоредника не зависи от формата на отделния успоредник. Зависи само от дължината на основата и височината на перпендикуляра.
Ако страните на един успоредник могат да бъдат представени с два вектора, площта може да се получи чрез големината на векторното произведение (кръстосано произведение) на двата съседни вектора.
Ако страните AB и AD са представени съответно от векторите ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) и ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), площта на успоредник е даден от [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], където α е ъгълът между [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Следват някои разширени свойства на успоредника;
• Площта на успоредник е два пъти по-голяма от площта на триъгълник, образуван от някой от неговите диагонали.
• Площта на успоредника е разделена наполовина от която и да е права, минаваща през средата.
• Всяка неизродена афинна трансформация превръща успоредник в друг успоредник
• Паралелограм има ротационна симетрия от порядък 2
• Сумата от разстоянията от всяка вътрешна точка на успоредник до страните не зависи от местоположението на точката
Каква е разликата между успоредник и четириъгълник?
• Четириъгълниците са многоъгълници с четири страни (понякога наричани четириъгълници), докато успоредникът е специален тип четириъгълник.
• Страните на четириъгълниците могат да бъдат в различни равнини (в 3d пространство), докато всички страни на успоредника лежат в една и съща равнина (равнинна/двуизмерна).
• Вътрешните ъгли на четириъгълника могат да приемат произволна стойност (включително рефлексни ъгли), така че сборът им да е 3600. Паралелограмите могат да имат само тъпи ъгли като максимален тип ъгъл.
• Четирите страни на четириъгълника могат да бъдат с различна дължина, докато противоположните страни на успоредника винаги са успоредни една на друга и еднакви по дължина.
• Всеки диагонал разделя успоредника на два еднакви триъгълника, докато триъгълниците, образувани от диагонала на общ четириъгълник, не са непременно еднакви.
