Хипербола срещу елипса
Когато един конус се нарязва под различни ъгли, различни криви се маркират от ръба на конуса. Тези криви често се наричат конични сечения. По-точно, коничното сечение е крива, получена чрез пресичане на права кръгла конична повърхност с плоска повърхност. При различни ъгли на пресичане са дадени различни конични сечения.
Хиперболата и елипсата са конични сечения и разликите им лесно се сравняват в този контекст.
Повече за Ellipse
Когато пресечната точка на коничната повърхност и равнинната повърхност създава затворена крива, тя е известна като елипса. Има ексцентричност между нула и едно (0<e<1). Може също да се дефинира като геометрично място на набор от точки в равнина, така че сумата от разстоянията до точката от две фиксирани точки остава постоянна. Тези две фиксирани точки са известни като „фокуси“. (Запомнете; в часовете по начална математика елипсите се чертаят с помощта на връв, завързана за две фиксирани щифтове, или примка от връв и две щифтове.)
Сегментът, минаващ през фокусите, е известен като голяма ос, а оста, перпендикулярна на голямата ос и минаваща през центъра на елипсата, е известна като малка ос. Диаметрите по всяка ос са известни съответно като напречен диаметър и спрегнат диаметър. Половината от голямата ос е известна като голяма полуос, а половината от малката ос е известна като полумалка ос.
Всяка точка F1 и F2 са известни като фокуси на елипсата и дължини F1 + PF2 =2a, където P е произволна точка от елипсата. Ексцентричността e се определя като съотношението между разстоянието от фокуса до произволната точка (PF 2) и перпендикулярното разстояние до произволната точка от директрисата (PD). Също така е равно на разстоянието между двата фокуса и голямата полуос: e=PF/PD=f/a
Общото уравнение на елипсата, когато голямата полуос и малката полуос съвпадат с декартовите оси, е дадено както следва.
x2/a2 + y2/b2=1
Геометрията на елипсата има много приложения, особено във физиката. Орбитите на планетите в Слънчевата система са елиптични със слънцето като един фокус. Рефлекторите за антени и акустични устройства са направени в елипсовидна форма, за да се възползват от факта, че всяка емисия от един фокус ще се събира в другия фокус.
Повече за хипербола
Хиперболата също е конично сечение, но е с отворен край. Терминът хипербола се отнася до двете несвързани криви, показани на фигурата. Вместо да се затварят като елипса, ръцете или клоновете на хиперболата продължават до безкрайността.
Точките, където двата клона имат най-късо разстояние между тях, са известни като върхове. Линията, минаваща през върховете, се счита за главна ос или напречна ос и е една от главните оси на хиперболата. Двата фокуса на параболата също лежат на голямата ос. Средната точка на линията между двата върха е центърът, а дължината на отсечката е голямата полуос. Перпендикулярната ъглополовяща на голямата полуос е другата главна ос и двете криви на хиперболата са симетрични около тази ос. Ексцентрицитетът на параболата е по-голям от единица; e > 1.
Ако главните оси съвпадат с декартовите оси, общото уравнение на хиперболата е във вида:
x2/a2 – y2/b2=1,
където a е голямата полуос и b е разстоянието от центъра до всеки фокус.
Хиперболите с отворени краища, обърнати към оста x, са известни като хиперболи изток-запад. Подобни хиперболи могат да се получат и по оста y. Те са известни като хиперболи на оста y. Уравнението за такива хиперболи приема формата
y2/a2 – x2/b2=1
Каква е разликата между хипербола и елипса?
• И елипсите, и хиперболата са конични сечения, но елипсата е затворена крива, докато хиперболата се състои от две отворени криви.
• Следователно елипсата има краен периметър, но хиперболата има безкрайна дължина.
• И двете са симетрични около голямата и малката си ос, но позицията на директрисата е различна във всеки случай. В елипсата той лежи извън голямата полуос, докато в хипербола лежи в голямата полуос.
• Ексцентрицитетите на двете конични сечения са различни.
0 <eЕлипса < 1
eХипербола > 0
• Общото уравнение на двете криви изглежда еднакво, но са различни.
• Перпендикулярна ъглополовяща на голямата ос пресича кривата в елипсата, но не и в хиперболата.
(Източник на изображения: Wikipedia)
