Биномиално срещу нормално разпределение
Вероятностните разпределения на случайни променливи играят важна роля в областта на статистиката. От тези вероятностни разпределения биномното разпределение и нормалното разпределение са две от най-често срещаните в реалния живот.
Какво е биномно разпределение?
Биномиалното разпределение е вероятностното разпределение, съответстващо на случайната променлива X, което е броят на успехите на крайна последователност от независими експерименти с да/не, всеки от които има вероятност за успех p. От дефиницията на X е очевидно, че това е дискретна случайна променлива; следователно биномното разпределение също е дискретно.
Разпределението се означава като X ~ B (n, p), където n е броят на експериментите, а p е вероятността за успех. Съгласно теорията на вероятностите, можем да заключим, че B (n, p) следва функцията на вероятностната маса [латекс] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. От това уравнение може допълнително да се заключи, че очакваната стойност на X, E(X)=np и дисперсията на X, V(X)=np (1- p).
Например, помислете за произволен експеримент с хвърляне на монета 3 пъти. Дефинирайте успеха като получаване на H, неуспеха като получаване на T и случайната променлива X като броя на успехите в експеримента. Тогава X ~ B (3, 0,5) и функцията на вероятностната маса на X, дадена от [латекс] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Следователно вероятността за получаване на поне 2 H е P(X ≥ 2)=P (X=2 или X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0,52)(0,51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Какво е нормално разпределение?
Нормалното разпределение е непрекъснатото разпределение на вероятностите, дефинирано от функцията за плътност на вероятността, [латекс] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Параметрите [latex] \mu и \\sigma [/latex] означават средната стойност и стандартното отклонение на съвкупността от интереси. Когато [latex] \mu=0 и \\sigma=1 [/latex] разпределението се нарича стандартно нормално разпределение.
Това разпределение се нарича нормално, тъй като повечето природни явления следват нормалното разпределение. Например коефициентът на интелигентност на човешката популация е нормално разпределен. Както се вижда от графиката, той е едномодален, симетричен спрямо средната стойност и с форма на камбана. Средната стойност, модата и медианата съвпадат. Площта под кривата съответства на частта от популацията, отговаряща на дадено условие.
Частите от населението в интервала [латекс] (\mu – \\сигма, \\mu + \\сигма) [/латекс], [латекс] (\mu – 2 \\сигма, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] са приблизително 68,2%, 95,6% и 99,8% съответно.
Каква е разликата между биномиалното и нормалното разпределение?
- Биномиалното разпределение е дискретно вероятностно разпределение, докато нормалното разпределение е непрекъснато.
- Вероятностната масова функция на биномното разпределение е [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], докато функцията на плътността на вероятността на нормалното разпределение е [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Биномиалното разпределение се апроксимира с нормално разпределение при определени условия, но не и обратното.
