Функция на разпределение на вероятността срещу функция на плътност на вероятността
Вероятността е вероятността дадено събитие да се случи. Тази идея е много разпространена и се използва често в ежедневието, когато оценяваме нашите възможности, сделка и много други неща. Разширяването на тази проста концепция към по-голям набор от събития е малко по-предизвикателно. Например, не можем лесно да изчислим шансовете да спечелим от лотария, но е удобно, по-скоро интуитивно, да кажем, че има вероятност едно от шест да получим номер шест при хвърлен зар.йени
Когато броят на събитията, които могат да се случат, става все по-голям или броят на индивидуалните възможности е голям, тази доста проста идея за вероятност се проваля. Следователно трябва да му се даде солидна математическа дефиниция, преди да се подходи към проблеми с по-висока сложност.
Когато броят на събитията, които могат да се случат в една ситуация е голям, е невъзможно всяко събитие да се разглежда поотделно, както в примера с хвърления зар. Следователно целият набор от събития се обобщава чрез въвеждане на концепцията за случайната променлива. Това е променлива, която може да приеме стойностите на различни събития в тази конкретна ситуация (или примерното пространство). Придава математически смисъл на прости събития в ситуацията и математически начин за адресиране на събитието. По-точно, случайната променлива е функция с реална стойност върху елементите на примерното пространство. Случайните променливи могат да бъдат дискретни или непрекъснати. Обикновено се обозначават с главните букви на английската азбука.
Функцията за разпределение на вероятностите (или просто разпределението на вероятностите) е функция, която присвоява стойностите на вероятностите за всяко събитие; т.е. осигурява връзка с вероятностите за стойностите, които случайната променлива може да приеме. Функцията на вероятностното разпределение е дефинирана за дискретни случайни променливи.
Функцията за плътност на вероятността е еквивалент на функцията за разпределение на вероятността за непрекъснатите случайни променливи, дава вероятността определена случайна променлива да приеме определена стойност.
Ако X е дискретна случайна променлива, функцията, дадена като f (x)=P (X=x) за всяко x в обхвата на X, се нарича функция на разпределение на вероятностите. Една функция може да служи като функция на разпределение на вероятностите тогава и само ако функцията удовлетворява следните условия.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Функция f (x), която е дефинирана върху набор от реални числа, се нарича функция на плътност на вероятността на непрекъснатата случайна променлива X, ако и само ако, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx за всякакви реални константи a и b.
Функцията за плътност на вероятността също трябва да отговаря на следните условия.
1. f (x) ≥ 0 за всички x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Както функцията за разпределение на вероятността, така и функцията за плътност на вероятността се използват за представяне на разпределението на вероятностите в пространството на извадката. Обикновено те се наричат вероятностни разпределения.
За статистическо моделиране се извличат стандартни функции за плътност на вероятността и функции за разпределение на вероятността. Нормалното разпределение и стандартното нормално разпределение са примери за непрекъснати вероятностни разпределения. Биномиалното разпределение и разпределението на Поасон са примери за дискретни вероятностни разпределения.
Каква е разликата между разпределението на вероятностите и функцията за плътност на вероятностите?
• Функцията за разпределение на вероятността и функцията за плътност на вероятността са функции, дефинирани в пространството на извадката, за присвояване на съответната вероятностна стойност на всеки елемент.
• Функциите за разпределение на вероятностите са дефинирани за дискретните случайни променливи, докато функциите за плътност на вероятността са дефинирани за непрекъснатите случайни променливи.
• Разпределението на вероятностните стойности (т.е. вероятностните разпределения) се описват най-добре от функцията за плътност на вероятността и функцията за разпределение на вероятностите.
• Функцията за разпределение на вероятността може да бъде представена като стойности в таблица, но това не е възможно за функцията за плътност на вероятността, тъй като променливата е непрекъсната.
• Когато е начертана, функцията за разпределение на вероятностите дава стълбова диаграма, докато функцията за плътност на вероятностите дава крива.
• Височината/дължината на стълбовете на функцията за разпределение на вероятността трябва да се добави към 1, докато площта под кривата на функцията за плътност на вероятността трябва да се добави към 1.
• И в двата случая всички стойности на функцията трябва да са неотрицателни.
