Случайни променливи срещу разпределение на вероятността
Статистическите експерименти са случайни експерименти, които могат да се повтарят безкрайно с известен набор от резултати. Както случайните променливи, така и вероятностните разпределения са свързани с такива експерименти. За всяка случайна променлива има свързано вероятностно разпределение, дефинирано от функция, наречена кумулативна функция на разпределение.
Какво е случайна променлива?
Случайната променлива е функция, която присвоява числени стойности на резултатите от статистически експеримент. С други думи, това е функция, дефинирана от примерното пространство на статистически експеримент в набор от реални числа.
Например, помислете за случаен експеримент с хвърляне на монета два пъти. Възможните резултати са HH, HT, TH и TT (H – глави, T – приказки). Нека променливата X е броят на главите, наблюдавани в експеримента. Тогава X може да приема стойности 0, 1 или 2 и е случайна променлива. Тук случайната променлива X ще съпостави набора S={HH, HT, TH, TT} (пробното пространство) към набора {0, 1, 2} по такъв начин, че HH се съпостави с 2, HT и TH се нанасят на 1 и TT се нанася на 0. В нотацията на функцията това може да се запише като X: S → R, където X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 и X(TT)=0.
Има два типа случайни променливи: дискретни и непрекъснати, съответно броят на възможните стойности, които една случайна променлива може да приеме, е най-много изброим или не. В предишния пример случайната променлива X е дискретна случайна променлива, тъй като {0, 1, 2} е краен набор. Сега разгледайте статистическия експеримент за намиране на теглата на учениците в клас. Нека Y е случайната променлива, дефинирана като теглото на ученик. Y може да приема всяка реална стойност в рамките на определен интервал. Следователно Y е непрекъсната случайна променлива.
Какво е разпределение на вероятностите?
Вероятностното разпределение е функция, която описва вероятността случайна променлива да приеме определени стойности.
Функция, наречена кумулативна функция на разпределение (F), може да се дефинира от набор от реални числа към набор от реални числа като F(x)=P(X ≤ x) (вероятността X да е по-малко от или равно на x) за всеки възможен резултат x. Сега кумулативната функция на разпределение на X в първия пример може да бъде записана като F(a)=0, ако a<0; F(a)=0,25, ако 0≤a<1; F(a)=0,75, ако 1≤a<2 и F(a)=1, ако a≥2.
В случай на дискретни случайни променливи, функция може да бъде дефинирана от набора от възможни резултати към набора от реални числа по такъв начин, че ƒ(x)=P(X=x) (вероятността на X равна на x) за всеки възможен резултат x. Тази конкретна функция ƒ се нарича функция на вероятностната маса на случайната променлива X. Сега вероятностната масова функция на X в първия конкретен пример може да бъде записана като ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 и ƒ(x)=0 в противен случай. По този начин функцията за вероятностна маса заедно с функцията за кумулативно разпределение ще опишат вероятностното разпределение на X в първия пример.
В случай на непрекъснати случайни променливи, функция, наречена функция на плътност на вероятността (ƒ), може да се дефинира като ƒ(x)=dF(x)/dx за всяко x, където F е функцията на кумулативното разпределение на непрекъсната случайна променлива. Лесно се вижда, че тази функция удовлетворява ∫ƒ(x)dx=1. Функцията за плътност на вероятността заедно с функцията на кумулативното разпределение описват разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива. Например, нормалното разпределение (което е непрекъснато вероятностно разпределение) се описва с помощта на функцията на вероятностна плътност ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Каква е разликата между случайните променливи и разпределението на вероятностите?
• Случайната променлива е функция, която свързва стойности на примерно пространство с реално число.
• Разпределението на вероятностите е функция, която свързва стойностите, които една случайна променлива може да приеме, със съответната вероятност за възникване.
