Кардинал срещу ординал
В нашия ежедневен живот използването на числа може да приеме различни форми в различни ситуации. Например, когато броим, за да разберем размера на колекция от обекти, ние ги броим като едно, две, три и т.н. Когато искаме да преброим нещо, за да разберем позицията на обектите, ние ги броим като първи, втори, трети и т.н. В първата форма на броене се казва, че числата са кардинални числа. При втората форма на броене числата се разглеждат като редни числа. В този контекст понятията кардинал и ординал са изцяло въпрос на лингвистика; кардинал и ред са прилагателни.
Въпреки това, разширяването на понятието до множества в математиката разкрива много по-дълбока и по-широка перспектива и не може да се третира с прости термини. В тази статия ще се опитаме да разберем основните понятия за кардиналните и редните числа в математиката.
Формалните дефиниции на кардиналните и поредните числа са предоставени в теорията на множествата. Дефинициите са сложни и за да ги разберете в идеален смисъл, са необходими основни познания по теория на множествата. Затова ще се обърнем към няколко примера, за да разберем понятията евристично.
Разгледайте двата набора {1, 3, 6, 4, 5, 2} и {автобус, кола, ферибот, влак, самолет, хеликоптер}. Всеки набор изброява набор от елементи и ако преброим броя на елементите, е очевидно, че всеки има еднакъв брой елементи, който е 6. Стигайки до това заключение, ние взехме размера на един набор и го сравнихме с друг, използвайки номер. Такова число се нарича кардинално число. Следователно можем да кажем, че кардиналното число е число, което можем да използваме, за да сравним размера на крайните множества.
Отново първият набор от числа може да бъде подреден във възходящ ред, като се има предвид размерът на всеки елемент и тяхното сравняване. В процеса на нареждане числата се считат за кардинали. По същия начин, наборът от всички неотрицателни цели числа може да бъде подреден в набор; т.е. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Но в този случай размерът на множеството става безкраен и не е възможно да се даде чрез ординали. Без значение колко голямо число изберете, за да посочите размера на набора, все пак ще има числа, оставени от избрания от вас набор и които са неотрицателни цели числа.
Следователно математиците дефинират този безкраен кардинал (който е първият) като Алеф-0, написан като א (първата буква в еврейската азбука). Формално поредният номер е типът на реда на добре подреден набор. Следователно поредният номер на крайните множества може да бъде даден от кардинални числа, но за безкрайните множества поредният номер е даден от трансфинитни числа като Aleph-0.
Каква е разликата между кардиналните и поредните числа?
• Кардиналното число е число, което може да се използва за броене или за определяне на размера на крайно подредено множество. Всички кардинални числа са редни.
• Поредните номера са числа, използвани за определяне на размера както на крайни, така и на безкрайни подредени множества. Размерът на крайните подредени множества е даден с обичайните индуско-арабски алгебрични числа, а размерът на безкрайното множество е даден с трансфинитни числа.
