Производна срещу интеграл
Диференцирането и интегрирането са две основни операции в Calculus. Те имат множество приложения в няколко области, като математика, инженерство и физика. И производната, и интегралата обсъждат поведението на функция или поведение на физически обект, който ни интересува.
Какво е производно?
Да предположим, че y=ƒ(x) и x0 е в домейна на ƒ. Тогава limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx се нарича моментна скорост на промяна на ƒ при x0, при условие че това ограничение съществува ограничено. Тази граница се нарича още производна на at и се означава с ƒ(x).
Стойността на производната на функция f в произволна точка x в домейна на функцията се дава от limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Това се обозначава с някой от следните изрази: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
За функции с няколко променливи дефинираме частична производна. Частичната производна на функция с няколко променливи е нейната производна по отношение на една от тези променливи, ако се приеме, че другите променливи са константи. Символът на частичната производна е ∂.
Геометрично производната на функция може да се интерпретира като наклона на кривата на функцията ƒ(x).
Какво е Integral?
Интеграцията или анти-диференциацията е обратният процес на диференциацията. С други думи, това е процес на намиране на оригинална функция, когато е дадена производната на функцията. Следователно, интеграл или антипроизводна на функция ƒ(x), ако ƒ(x)=F (x) може да се дефинира като функцията F (x), за всички x в областта на ƒ(x).
Изразът ∫ƒ(x) dx обозначава производната на функция ƒ(x). Ако ƒ(x)=F (x), тогава ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, където C е константа, ∫ƒ(x) dx се нарича неопределен интеграл на ƒ(x).
За всяка функция ƒ, която не е непременно неотрицателна и дефинирана в интервала [a, b], a∫b ƒ(x) dx се нарича определен интеграл ƒ върху [a, b].
Определеният интеграл a∫bƒ(x) dx на функция ƒ(x) може да бъде геометрично интерпретиран като площта на област, ограничена от кривата ƒ(x), оста x и линиите x=a и x=b.
Каква е разликата между производна и интеграл?
• Производната е резултат от диференцирането на процеса, докато интегралът е резултат от интегрирането на процеса.
• Производната на функция представлява наклона на кривата във всяка дадена точка, докато интегралът представлява площта под кривата.
