Диференциране срещу производно
В диференциалното смятане производната и диференцирането са тясно свързани, но много различни и се използват за представяне на две важни математически концепции, свързани с функциите.
Какво е производно?
Производна на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя при промяна на нейния вход. При многопроменливите функции промяната в стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Тази производна се нарича производна по посока. Частичните производни са специален вид производни по посока.
Производна на функция с векторни стойности f може да се дефинира като границата [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] навсякъде, където съществува ограничено. Както бе споменато по-горе, това ни дава скоростта на нарастване на функцията f по посока на вектора u. В случай на функция с една стойност, това се свежда до добре познатата дефиниция на производната, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Например, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] е диференцируем навсякъде и производната е равна на границата, [latex]\\lim_{h \\до 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], което е равно на [latex]3x^{2}+4[/latex]. Производните на функции като [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] съществуват навсякъде. Те са съответно равни на функциите [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Това е известно като първа производна. Обикновено първото производно на функция f се обозначава с f (1) Използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок порядък. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] е производна на посока от втори ред и обозначава n th производна с f (n) за всяко n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], дефинира n th производно.йени
Какво е диференциация?
Диференцирането е процес на намиране на производната на диференцируема функция. D-операторът, обозначен с D, представлява диференциация в някои контексти. Ако x е независимата променлива, тогава D ≡ d/dx. D-операторът е линеен оператор, т.е. за всеки две диференцируеми функции f и g и константа c са валидни следните свойства.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Използвайки D-оператора, другите правила, свързани с диференцирането, могат да бъдат изразени по следния начин. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 и D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Например, когато F(x)=x 2sin x се диференцира по отношение на x с помощта на дадените правила, отговорът ще бъде 2 x sin x + x2cos x.
Каква е разликата между диференциране и производно?• Производната се отнася до скоростта на промяна на функция • Диференцирането е процес на намиране на производната на функция. |
