Производна срещу диференциал
В диференциалното смятане производната и диференциалът на функция са тясно свързани, но имат много различни значения и се използват за представяне на два важни математически обекта, свързани с диференцируеми функции.
Какво е производно?
Производна на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя при промяна на нейния вход. При многопроменливите функции промяната в стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Тази производна се нарича производна по посока. Частичните производни са специален вид производни по посока.
Производна на функция с векторни стойности f може да се дефинира като границата [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] навсякъде, където съществува ограничено. Както бе споменато по-горе, това ни дава скоростта на нарастване на функцията f по посока на вектора u. В случай на функция с една стойност, това се свежда до добре познатата дефиниция на производната, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Например, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] е диференцируем навсякъде и производната е равна на границата, [latex]\\lim_{h \\до 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], което е равно на [latex]3x^{2}+4[/latex]. Производните на функции като [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] съществуват навсякъде. Те са съответно равни на функциите [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Това е известно като първа производна. Обикновено първото производно на функция f се обозначава с f (1) Използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок порядък. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] е производна на посока от втори ред и обозначава n th производна с f (n) за всяко n, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], дефинира n th производно.йени
Какво е диференциал?
Диференциалът на функция представлява промяната във функцията по отношение на промените в независимата променлива или променливи. В обичайната нотация, за дадена функция f на единична променлива x, общият диференциал от порядък 1 df се дава от [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Това означава, че за безкрайно малка промяна в x (т.е. d x), ще има f (1)(x)d x промяна във f.
Използването на ограничения може да доведе до това определение, както следва. Да приемем, че ∆ x е промяната в x в произволна точка x и ∆ f е съответната промяна във функцията f. Може да се покаже, че ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, където ϵ е грешката. Сега границата ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (използвайки предишната дефиниция на производна) и по този начин ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Следователно е възможно да заключаваме, че ∆ x→ 0 ϵ=0. Сега, означавайки ∆ x→ 0 ∆ f като d f и ∆ x→ 0 ∆ x като d x, дефиницията на диференциала е строго получена.
Например, диференциалът на функцията [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] е [latex](3x^{2}+4)dx[/латекс].
В случай на функции на две или повече променливи, общият диференциал на функция се определя като сбор от диференциалите в посоките на всяка от независимите променливи. Математически може да се изрази като [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Каква е разликата между производна и диференциал?
• Производната се отнася до скоростта на промяна на функция, докато диференциалът се отнася до действителната промяна на функцията, когато независимата променлива е подложена на промяна.
• Производната се дава от [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], но разликата се дава от [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
