Разлика между аритметична последователност и геометрична последователност

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-17 23:22

Аритметична последователност срещу геометрична последователност

Изследването на моделите на числата и тяхното поведение е важно изследване в областта на математиката. Често тези модели могат да се видят в природата и ни помагат да обясним поведението им от научна гледна точка. Аритметичните последователности и геометричните последователности са две от основните модели, които се срещат в числата и често се срещат в природните явления.

Поредицата е набор от подредени числа. Броят на елементите в последователността може да бъде краен или безкраен.

Повече за аритметичната последователност (аритметрична прогресия)

Аритметичната последователност се дефинира като последователност от числа с постоянна разлика между всеки последователен член. Известен е също като аритметична прогресия.

Аритметична последователност ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; където a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d и така нататък.}

Ако началният член е a₁ и общата разлика е d, тогава n^{th член на последователността се дава от;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Като вземем горния резултат по-нататък, n^{th член може да бъде даден също като;}

a_n =a_m + (n-m)d, където a_{m е произволен термин в последователността, така че n > m.}

Множеството от четни числа и множеството от нечетни числа са най-простите примери за аритметични поредици, където всяка поредица има обща разлика (d) от 2.

Броят на членовете в последователност може да бъде безкраен или краен. В безкрайния случай (n → ∞), последователността клони към безкрайност в зависимост от общата разлика (a_{n → ±∞). Ако общата разлика е положителна (d > 0), последователността клони към положителна безкрайност и, ако общата разлика е отрицателна (d < 0), тя клони към отрицателната безкрайност. Ако членовете са крайни, последователността също е крайна.}

Сумата от членовете в аритметичната редица е известна като аритметична серия: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{и S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] дава стойността на серия (S}n)

Повече за геометричната последователност (геометрична прогресия)

Геометричната последователност се дефинира като последователност, в която частното на всеки два последователни члена е константа. Това също е известно като геометрична прогресия.

Геометрична последователност ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; където a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r и т.н., където r е реално число.}

По-лесно е да се представи геометричната последователност с помощта на общото отношение (r) и началния член (a). Следователно геометричната последователност ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Общата форма на n^th термини, дадени от a_n =a₁r ^n-1. (Загуба на долния индекс на началния член ⇒ a_n =ar^n-1)

Геометричната последователност също може да бъде крайна или безкрайна. Ако броят на членовете е краен, се казва, че последователността е крайна. И ако членовете са безкрайни, последователността може да бъде безкрайна или крайна в зависимост от отношението r. Общото съотношение засяга много от свойствата в геометричните последователности.

r > o	0 < r < +1	Поредицата се сближава – експоненциално разпадане, т.е. an → 0, n → ∞
	r=1	Постоянна последователност, т.е. an=константа
	r > 1	Поредицата се разминава – експоненциален растеж, т.е. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Поредицата е осцилираща, но се събира
	r=1	Поредицата е редуваща се и постоянна, т.е. an=±константа
	r < -1	Поредицата се редува и се разминава. т.е. an → ±∞, n → ∞
r=0	Поредицата е низ от нули

N. B: Във всички случаи по-горе, a₁ > 0; ако a₁ < 0, знаците, свързани с a_{n ще бъдат обърнати.}

Интервалът от време между отскоците на топката следва геометрична последователност в идеалния модел и е конвергентна последователност.

Сумата от членовете на геометричната последователност е известна като геометрична серия; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Сумата от геометричните серии може да се изчисли по следната формула.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); където a е началният член и r е съотношението.}

Ако съотношението, r ≤ 1, редът се сближава. За безкрайна серия стойността на конвергенцията се дава от S_n=a/(1-r)

Каква е разликата между аритметична и геометрична последователност/прогресия?

• В аритметична последователност всеки два последователни члена имат обща разлика (d), докато в геометричната последователност всеки два последователни члена имат постоянно частно (r).

• В аритметична последователност вариацията на членовете е линейна, т.е. може да се начертае права линия, минаваща през всички точки. В геометрична серия вариацията е експоненциална; или расте или намалява въз основа на общото съотношение.

• Всички безкрайни аритметични поредици са разминаващи се, докато безкрайните геометрични поредици могат да бъдат разминаващи се или сходящи.

• Геометричната серия може да показва трептене, ако съотношението r е отрицателно, докато аритметичната серия не показва трептене