Линейни срещу нелинейни диференциални уравнения
Уравнение, съдържащо поне един диференциален коефициент или производна на неизвестна променлива, е известно като диференциално уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде линейно или нелинейно. Обхватът на тази статия е да обясни какво е линейно диференциално уравнение, какво е нелинейно диференциално уравнение и каква е разликата между линейни и нелинейни диференциални уравнения.
От развитието на смятането през 18 век от математици като Нютон и Лайбниц, диференциалното уравнение играе важна роля в историята на математиката. Диференциалните уравнения са от голямо значение в математиката поради техния диапазон от приложения. Диференциалните уравнения са в основата на всеки модел, който разработваме, за да обясним всеки сценарий или събитие в света, независимо дали е във физиката, инженерството, химията, статистиката, финансовия анализ или биологията (списъкът е безкраен). Всъщност, докато смятането не се превърна в утвърдена теория, не бяха налични подходящи математически инструменти за анализ на интересните проблеми в природата.
Получените уравнения от специфично приложение на смятането може да са много сложни и понякога неразрешими. Има обаче такива, които можем да разрешим, но може да изглеждат еднакви и объркващи. Следователно, за по-лесно идентифициране, диференциалните уравнения се категоризират според тяхното математическо поведение. Линейни и нелинейни е една такава категоризация. Важно е да се установи разликата между линейни и нелинейни диференциални уравнения.
Какво е линейно диференциално уравнение?
Да предположим, че f: X→Y и f(x)=y, диференциално уравнение без нелинейни членове на неизвестната функция y и нейните производни е известно като линейно диференциално уравнение.
Това налага условието, че y не може да има термини с по-висок индекс като y2, y3, … и кратни на производни като като
Също така не може да съдържа нелинейни термини като Sin y, e y ^-2 или ln y. Приема формата,
където y и g са функции на x. Уравнението е диференциално уравнение от ред n, което е индексът на производната от най-висок ред.
В линейно диференциално уравнение диференциалният оператор е линеен оператор и решенията образуват векторно пространство. В резултат на линейния характер на набора от решения, линейна комбинация от решения също е решение на диференциалното уравнение. Тоест, ако y1 и y2 са решения на диференциалното уравнение, тогава C1 y 1+ C2 y2 също е решение.
Линейността на уравнението е само един параметър от класификацията и може допълнително да се категоризира в хомогенни или нехомогенни и обикновени или частични диференциални уравнения. Ако функцията е g=0, тогава уравнението е линейно хомогенно диференциално уравнение. Ако f е функция на две или повече независими променливи (f: X, T→Y) и f(x, t)=y, тогава уравнението е линейно частично диференциално уравнение.
Методът за решаване на диференциалното уравнение зависи от типа и коефициентите на диференциалното уравнение. Най-лесният случай възниква, когато коефициентите са постоянни. Класически пример за този случай е вторият закон за движението на Нютон и различните му приложения. Вторият закон на Нютон създава линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.
Какво е нелинейно диференциално уравнение?
Уравнения, които съдържат нелинейни членове, са известни като нелинейни диференциални уравнения.
Всичко по-горе са нелинейни диференциални уравнения. Нелинейните диференциални уравнения са трудни за решаване, следователно е необходимо внимателно проучване, за да се получи правилно решение. В случай на частични диференциални уравнения повечето от уравненията нямат общо решение. Следователно всяко уравнение трябва да се третира независимо.
Уравнението на Навие-Стокс и уравнението на Ойлер в динамиката на течностите, уравненията на полето на Айнщайн от общата теория на относителността са добре известни нелинейни частични диференциални уравнения. Понякога прилагането на уравнението на Лагранж към система с променливи може да доведе до система от нелинейни частични диференциални уравнения.
Каква е разликата между линейните и нелинейните диференциални уравнения?
• Диференциално уравнение, което има само линейните членове на неизвестната или зависима променлива и нейните производни, е известно като линейно диференциално уравнение. Той няма член със зависима променлива с индекс, по-висок от 1 и не съдържа кратно на неговите производни. Не може да има нелинейни функции като тригонометрични функции, експоненциална функция и логаритмични функции по отношение на зависимата променлива. Всяко диференциално уравнение, което съдържа гореспоменатите членове, е нелинейно диференциално уравнение.
• Решенията на линейни диференциални уравнения създават векторно пространство и диференциалният оператор също е линеен оператор във векторно пространство.
• Решенията на линейни диференциални уравнения са относително по-лесни и съществуват общи решения. За нелинейни уравнения в повечето случаи общото решение не съществува и решението може да е специфично за проблема. Това прави решението много по-трудно от линейните уравнения.
