Разлика между интегриране и сумиране

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 13:30

Интегриране срещу сумиране

В горната математика в гимназията интегрирането и сумирането често се срещат в математическите операции. Привидно се използват като различни инструменти и в различни ситуации, но споделят много тясна връзка.

Повече за сумирането

Сумирането е операция за добавяне на поредица от числа и операцията често се обозначава с гръцката главна буква сигма Σ. Използва се за съкращаване на сумата и е равна на сумата/общата сума на редицата. Те често се използват за представяне на серии, които по същество са безкрайни последователности, обобщени. Те могат също да се използват за указване на сумата от вектори, матрици или полиноми.

Сумирането обикновено се прави за диапазон от стойности, които могат да бъдат представени с общ термин, като например серия, която има общ термин. Началната точка и крайната точка на сумирането са известни съответно като долна граница и горна граница на сумирането.

Например сумата от поредицата a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n е ₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, което може лесно да бъде представено с помощта на нотацията за сумиране като ∑ _i=1 a_{i; i се нарича индекс на сумиране.}

Използват се много варианти за сумиране въз основа на приложението. В някои случаи горната граница и долната граница могат да бъдат дадени като интервал или диапазон, като ∑_1≤i≤100 a_i и ∑_{i∈[1, 100]} a_i Или може да се даде като набор от числа като ∑_i∈P a_{i, където P е дефиниран набор.}

В някои случаи могат да се използват два или повече сигма знака, но те могат да бъдат обобщени, както следва; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Освен това, сумирането следва много алгебрични правила. Тъй като вградената операция е събирането, много от общите правила на алгебрата могат да бъдат приложени към самите суми и към отделните членове, изобразени от сумата.

Повече за интеграцията

Интеграцията се определя като обратен процес на диференциация. Но в своя геометричен изглед може също да се разглежда като площта, затворена от кривата на функцията и оста. Следователно изчисляването на площта дава стойността на определен интеграл, както е показано на диаграмата.

Източник на изображението:

Стойността на определения интеграл всъщност е сумата от малките ленти вътре в кривата и оста. Площта на всяка лента е височина × широчина в точката на разглежданата ос. Ширината е стойност, която можем да изберем, да речем ∆x. А височината е приблизително стойността на функцията в разглежданата точка, да речем f (x_{i). От диаграмата е очевидно, че колкото по-малки са лентите, толкова по-добре лентите пасват в ограничената област, следователно по-добро приближение на стойността.}

Така че като цяло определеният интеграл I, между точките a и b (т.е. в интервала [a, b] където a<b), може да бъде даден като I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, където n е броят на лентите (n=(b-a)/∆x). Това сумиране на площта може лесно да бъде представено с помощта на нотацията за сумиране като I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Тъй като приближението е по-добро, когато ∆x е по-малко, можем да изчислим стойността, когато ∆x→0. Следователно е разумно да се каже I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Като обобщение от горната концепция, можем да изберем ∆x въз основа на разглеждания интервал, индексиран от i (избирайки ширината на областта въз основа на позицията). Тогава получаваме

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Това е известно като интеграл на Райман на функцията f (x) в интервала [a, b]. В този случай a и b са известни като горна граница и долна граница на интеграла. Интегралът на Райман е основна форма на всички методи за интегриране.

По същество интегрирането е сумирането на площта, когато ширината на правоъгълника е безкрайно малка.

Каква е разликата между интегриране и сумиране?

• Сумирането е събиране на поредица от числа. Обикновено сумата се дава в тази форма ∑_i=1 a_{i, когато членовете в последователността имат модел и могат да бъдат изразени с общ термин.}

• Интегрирането е основно областта, ограничена от кривата на функцията, оста и горната и долната граница. Тази площ може да бъде дадена като сбор от много по-малки площи, включени в ограничената област.

• Сумирането включва дискретни стойности с горна и долна граница, докато интегрирането включва непрекъснати стойности.

• Интегрирането може да се интерпретира като специална форма на сумиране.

• При числените изчислителни методи интегрирането винаги се извършва като сумиране.