Взаимно изключващи се срещу независими събития
Хората често бъркат концепцията за взаимно изключващи се събития с независими събития. Всъщност това са две различни неща.
Нека A и B са произволни две събития, свързани с произволен експеримент E. P(A) се нарича „Вероятност за A“. По подобен начин можем да дефинираме вероятността за B като P(B), вероятността за A или B като P(A∪B) и вероятността за A и B като P(A∩B). Тогава P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Въпреки това, две събития се наричат взаимно изключващи се, ако настъпването на едното събитие не засяга другото. С други думи, те не могат да се появят едновременно. Следователно, ако две събития A и B са взаимно изключващи се, тогава A∩B=∅ и следователно това предполага P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Нека A и B са две събития в примерно пространство S. Условната вероятност за A, като се има предвид, че B се е случило, се означава с P(A | B) и се определя като; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), при условие P(B)>0. (в противен случай не е дефинирано.)
Казва се, че събитие A е независимо от събитие B, ако вероятността A да се случи не се влияе от това дали B се е случило или не. С други думи, резултатът от събитие B няма ефект върху резултата от събитие A. Следователно P(A | B)=P(A). По същия начин B е независимо от A, ако P(B)=P(B | A). Следователно можем да заключим, че ако A и B са независими събития, тогава P(A∩B)=P(A). P(B)
Да приемем, че номерирано кубче е хвърлено и честна монета е хвърлена. Нека A е събитието, което получава глава, а B е събитието, което хвърля четно число. Тогава можем да заключим, че събития A и B са независими, тъй като резултатът от едното не влияе върху резултата от другото. Следователно P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Тъй като P(A∩B)≠0, A и B не могат да се изключват взаимно.
Да предположим, че една урна съдържа 7 бели топчета и 8 черни топчета. Дефинирайте събитие A като рисуване на бяло топче, а събитие B като рисуване на черно топче. Ако приемем, че всяко топче ще бъде заменено след отбелязване на цвета му, тогава P(A) и P(B) винаги ще бъдат едни и същи, без значение колко пъти теглим от урната. Подмяната на топчетата означава, че вероятностите не се променят от теглене до теглене, без значение какъв цвят сме избрали при последното теглене. Следователно събитие A и B са независими.
Въпреки това, ако топчетата са изтеглени без замяна, тогава всичко се променя. При това предположение събитията A и B не са независими. Тегленето на бяло топче за първи път променя вероятностите за изтегляне на черно топче при второто теглене и т.н. С други думи, всяко теглене има ефект върху следващото теглене и така отделните тегления не са независими.
Разлика между взаимно изключващи се и независими събития
– Взаимната изключителност на събитията означава, че няма припокриване между множествата A и B. Независимостта на събитията означава, че случването на A не засяга случването на B.
– Ако две събития A и B се изключват взаимно, тогава P(A∩B)=0.
– Ако две събития A и B са независими, тогава P(A∩B)=P(A). P(B)
