Зависими срещу независими събития
В ежедневието си се натъкваме на събития с несигурност. Например шанс за печалба от лотария, който купувате, или шанс за получаване на работата, за която сте кандидатствали. Фундаменталната теория на вероятностите се използва за математическо определяне на шанса нещо да се случи. Вероятността винаги се свързва със случайни експерименти. Експеримент с няколко възможни изхода се нарича случаен експеримент, ако резултатът от нито един опит не може да бъде предвиден предварително. Зависими и независими събития са термини, използвани в теорията на вероятностите.
Казва се, че събитие B е независимо от събитие A, ако вероятността B да се случи не се влияе от това дали A се е случило или не. Просто две събития са независими, ако резултатът от едното не влияе върху вероятността за настъпване на другото събитие. С други думи, B е независимо от A, ако P(B)=P(B|A). По същия начин A е независимо от B, ако P(A)=P(A|B). Тук P(A|B) означава условната вероятност A, ако приемем, че B се е случило. Ако разгледаме хвърлянето на два зара, числото, което се показва в единия зар, няма ефект върху това, което се е появило в другия зар.
За всеки две събития A и B в примерно пространство S; условната вероятност за A, като се има предвид, че B се е случило, е P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Така че, ако събитие A е независимо от събитие B, тогава P(A)=P(A|B) предполага, че P(A∩B)=P(A) x P(B). По същия начин, ако P(B)=P(B|A), тогава е валидно P(A∩B)=P(A) x P(B). Следователно можем да заключим, че двете събития A и B са независими, ако и само ако е изпълнено условието P(A∩B)=P(A) x P(B).
Нека приемем, че хвърляме зар и монета едновременно. Тогава наборът от всички възможни резултати или примерното пространство е S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T) }. Нека събитие A е събитието за получаване на глави, тогава вероятността за събитие A, P(A) е 6/12 или 1/2 и нека B е събитието за получаване на кратно на три на зара. Тогава P(B)=4/12=1/3. Нито едно от тези две събития няма ефект върху настъпването на другото събитие. Следователно тези две събития са независими. Тъй като множеството (A∩B)={(3, H), (6, H)}, вероятността дадено събитие да получи глави и кратно на три на зара, тоест P(A∩B) е 2/12 или 1/6. Умножението P (A) x P(B) също е равно на 1/6. Тъй като двете събития A и B изпълняват условието, можем да кажем, че A и B са независими събития.
Ако изходът от едно събитие е повлиян от изхода на другото събитие, тогава се казва, че събитието е зависимо.
Да приемем, че имаме торба, която съдържа 3 червени топки, 2 бели топки и 2 зелени топки. Вероятността да изтеглите бяла топка на случаен принцип е 2/7. Каква е вероятността да изтеглите зелена топка? 7/2 ли е?
Ако бяхме изтеглили втората топка след замяната на първата топка, тази вероятност ще бъде 2/7. Ако обаче не заменим първата топка, която сме извадили, тогава имаме само шест топки в торбата, така че вероятността да изтеглим зелена топка сега е 2/6 или 1/3. Следователно второто събитие е зависимо, тъй като първото има ефект върху второто събитие.
Каква е разликата между зависимо събитие и независимо събитие?
