Интеграция срещу диференциация
Интегрирането и диференцирането са две основни концепции в смятането, което изучава промяната. Смятането има голямо разнообразие от приложения в много области като наука, икономика или финанси, инженерство и др.
Различаване
Диференцирането е алгебрична процедура за изчисляване на производните. Производна на функция е наклонът или градиентът на кривата (графиката) във всяка дадена точка. Градиент на крива във всяка дадена точка е градиентът на допирателната, начертана към тази крива в дадена точка. За нелинейни криви градиентът на кривата може да варира в различни точки по протежение на оста. Следователно е трудно да се изчисли градиентът или наклонът във всяка точка. Процесът на диференциране е полезен при изчисляване на градиента на кривата във всяка точка.
Друго определение за дериват е "промяната на свойство по отношение на промяна на единица на друго свойство."
Нека f(x) е функция на независима променлива x. Ако се предизвика малка промяна (∆x) в независимата променлива x, съответната промяна ∆f(x) се причинява във функцията f(x); тогава отношението ∆f(x)/∆x е мярка за скоростта на промяна на f(x) по отношение на x. Граничната стойност на това съотношение, когато ∆x клони към нула, lim∆x→0(f(x)/∆x) се нарича първа производна на функцията f(x), по отношение на x; с други думи, моментната промяна на f(x) в дадена точка x.
Интеграция
Интегрирането е процес на изчисляване на определен интеграл или неопределен интеграл. За реална функция f(x) и затворен интервал [a, b] на реалната права, определеният интеграл, a∫b f(x), се определя като площта между графиката на функцията, хоризонталната ос и двете вертикални линии в крайните точки на интервал. Когато не е даден определен интервал, той е известен като неопределен интеграл. Определен интеграл може да се изчисли с анти-производни.
Каква е разликата между интеграция и диференциация?
Разликата между интеграция и диференциация е нещо като разликата между „повдигане на квадрат“и „изваждане на квадратен корен“. Ако повдигнем на квадрат положително число и след това вземем квадратен корен от резултата, положителната стойност на квадратния корен ще бъде числото, което сте повдигнали на квадрат. По същия начин, ако приложите интегрирането върху резултата, който сте получили чрез диференциране на непрекъсната функция f(x), това ще доведе обратно до оригиналната функция и обратно.
Например, нека F(x) е интеграл на функция f(x)=x, следователно F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, където c е произволна константа. Когато диференцираме F(x) по отношение на x, получаваме, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, следователно, производната на F(x) е равна на f(x).
Резюме
– Диференцирането изчислява наклона на кривата, докато интегрирането изчислява площта под кривата.
– Интеграцията е обратен процес на диференциация и обратното.
