Дискретна функция срещу непрекъсната функция
Функциите са един от най-важните класове математически обекти, които се използват широко в почти всички подполета на математиката. Както предполагат имената им, както дискретните функции, така и непрекъснатите функции са два специални типа функции.
Функцията е връзка между два набора, дефинирани по такъв начин, че за всеки елемент от първия набор, стойността, която му съответства във втория набор, е уникална. Нека f е функция, дефинирана от множеството A в множеството B. Тогава за всяко x ϵ A символът f (x) обозначава уникалната стойност в множеството B, която съответства на x. Нарича се образ на x под f. Следователно, връзка f от A към B е функция, ако и само ако за всяко xϵ A и y ϵ A; ако x=y, тогава f (x)=f (y). Множеството A се нарича домейн на функцията f и е множеството, в което е дефинирана функцията.
Например, разгледайте връзката f от R в R, дефинирана от f (x)=x + 2 за всяко xϵ A. Това е функция, чиято област е R, тъй като за всяко реално число x и y x=y предполага f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Но връзката g от N към N, дефинирана от g (x)=a, където 'a' е прости множители на x, не е функция, тъй като g (6)=3, както и g (6)=2.
Какво е дискретна функция?
Дискретна функция е функция, чийто домейн е най-много преброим. Просто това означава, че е възможно да се направи списък, който включва всички елементи на домейна.
Всяко крайно множество е най-много изброимо. Наборът от естествени числа и наборът от рационални числа са примери за най-много изброими безкрайни множества. Множеството от реални числа и множеството от ирационални числа не са най-много изброими. И двата комплекта са безброй. Това означава, че е невъзможно да се направи списък, който включва всички елементи от тези множества.
Една от най-разпространените дискретни функции е факториелната функция. f:N U{0}→N рекурсивно дефинирана от f (n)=n f (n-1) за всяко n ≥ 1 и f (0)=1 се нарича факторна функция. Забележете, че неговият домейн N U{0} е най-много преброим.
Какво е непрекъсната функция?
Нека f е такава функция, че за всяко k в областта на f, f (x)→ f (k) като x → k. Тогава f е непрекъсната функция. Това означава, че е възможно да се направи f (x) произволно близко до f (k), като се направи x достатъчно близо до k за всяко k в областта на f.
Разгледайте функцията f (x)=x + 2 върху R. Може да се види, че като x → k, x + 2 → k + 2 е f (x) → f (k). Следователно f е непрекъсната функция. Сега разгледайте g върху положителни реални числа g (x)=1, ако x > 0 и g (x)=0, ако x=0. Тогава тази функция не е непрекъсната функция, тъй като границата на g (x) не съществува (и следователно не е равна на g (0)), когато x → 0.
Каква е разликата между дискретна и непрекъсната функция?
• Дискретна функция е функция, чийто домейн е най-много изброим, но не е необходимо да е така в непрекъснатите функции.
• Всички непрекъснати функции ƒ имат свойството, че ƒ(x)→ƒ(k) като x → k за всяко x и за всяко k в областта на ƒ, но не е така в някои дискретни функции.
