Разлика между логаритмична и експоненциална

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 13:30

Логаритмично срещу експоненциално | Експоненциална функция срещу логаритмична функция

Функциите са един от най-важните класове математически обекти, които се използват широко в почти всички подполета на математиката. Както подсказват имената им, експоненциалната функция и логаритмичната функция са две специални функции.

Функцията е релация между два набора, дефинирани по такъв начин, че за всеки елемент от първия набор стойността, която му съответства във втория набор, е уникална. Нека ƒ е функция, дефинирана от множество A в множество B. Тогава за всяко x ϵ A символът ƒ(x) обозначава уникалната стойност в множеството B, която съответства на x. Нарича се образ на x под ƒ. Следователно, отношение ƒ от A към B е функция, ако и само ако, за всяко x ϵ A и y ϵ A, ако x=y тогава ƒ(x)=ƒ(y). Множеството A се нарича домейн на функцията ƒ и е множеството, в което е дефинирана функцията.

Какво е експоненциална функция?

Експоненциалната функция е функцията, дадена от ƒ(x)=e^x, където e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) и е трансцендентно ирационално число. Една от особеностите на функцията е, че производната на функцията е равна на себе си; когато y=e^x, dy/dx=e^x Освен това, функцията е навсякъде непрекъснато нарастваща функция, имаща оста x като асимптота. Следователно функцията също е едно към едно. За всеки x ϵ R имаме, че e^x> 0 и може да се покаже, че е върху R ⁺ Освен това следва основната идентичност e^x+y=e^xe^y и e⁰ =1. Функцията може също да бъде представена с помощта на разширението на серията, дадено от 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

Какво е логаритмична функция?

Логаритмичната функция е обратна на експоненциалната функция. Тъй като експоненциалната функция е едно към едно и върху R ⁺, функция g може да бъде дефинирана от набор от положителни реални числа в набор от реални числа, дадени от g(y)=x, ако и само ако, y=e^x Тази функция g се нарича логаритмична функция или най-често като натурален логаритъм. Означава се с g(x)=log e^{x=ln x. Тъй като е обратна на експоненциалната функция, ако вземем отражението на графиката на експоненциалната функция върху правата y=x, тогава ще имаме графиката на логаритмичната функция. По този начин функцията е асимптотична спрямо оста y.}

Логаритмичната функция следва някои основни правила, от които ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y и ln xy=y ln x са най-важните. Това също е нарастваща функция и е непрекъсната навсякъде. Следователно е и едно към едно. Може да се покаже, че е върху R.

Каква е разликата между експоненциална функция и логаритмична функция?

• Експоненциалната функция е дадена от ƒ(x)=e^{x, докато логаритмичната функция е дадена от g(x)=ln x, а първото е обратното на последно.}

• Домейнът на експоненциалната функция е набор от реални числа, но домейнът на логаритмичната функция е набор от положителни реални числа.

• Диапазонът на експоненциалната функция е набор от положителни реални числа, но диапазонът на логаритмичната функция е набор от реални числа.