Ортогонално срещу Ортонормално
В математиката двете думи ортогонален и ортонормален често се използват заедно с набор от вектори. Тук терминът „вектор“се използва в смисъл, че е елемент от векторно пространство – алгебрична структура, използвана в линейната алгебра. За нашата дискусия ще разгледаме пространство с вътрешен продукт – векторно пространство V заедно с вътрешен продукт , дефиниран на V.
Като пример, за вътрешен продукт пространството е набор от всички 3-измерни позиционни вектори заедно с обичайното точково произведение.
Какво е ортогонал?
Непразно подмножество S на пространство с вътрешен продукт V се казва, че е ортогонално, ако и само ако за всяко отделно u, v в S, [u, v]=0; т.е. вътрешното произведение на u и v е равно на нулевия скалар във вътрешното произведение.
Например, в набора от всички 3-измерни позиционни вектори, това е еквивалентно да се каже, че за всяка отделна двойка позиционни вектори p и q в S, p и q са перпендикулярни един на друг. (Запомнете, че вътрешният продукт в това векторно пространство е точковият продукт. Също така точковият продукт на два вектора е равен на 0 тогава и само ако двата вектора са перпендикулярни един на друг.)
Разгледайте множеството S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, което е подмножество от 3-мерните позиционни вектори. Забележете, че (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Следователно множеството S е ортогонално. По-специално, два вектора се наричат ортогонални, ако техният вътрешен продукт е 0. Следователно всяка двойка вектори в Sis е ортогонална.
Какво е ортонормално?
Непразно подмножество S на вътрешно продуктово пространство V се казва, че е ортонормално тогава и само ако S е ортогонален и за всеки вектор u в S, [u, u]=1. Следователно може да се види, че всеки ортонормален набор е ортогонален, но не и обратното.
Например, в набора от всички 3-измерни позиционни вектори, това е еквивалентно да се каже, че за всяка отделна двойка позиционни вектори p и q в S, p и q са перпендикулярни един на друг и за всяко p в S, |p|=1. Това е така, защото условието [p, p]=1 се редуцира до p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, което е еквивалентно на |p |=1. Следователно, при даден ортогонален набор, винаги можем да формираме съответен ортонормален набор, като разделим всеки вектор на неговата величина.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} е ортонормално подмножество на набора от всички 3-измерни позиционни вектори. Лесно се вижда, че се получава чрез разделяне на всеки от векторите в набора S на техните величини.
Каква е разликата между ортогонален и ортонормален?
- Непразно подмножество S на вътрешно продуктово пространство V се казва, че е ортогонално, ако и само ако за всяко отделно u, v в S, [u, v]=0. Въпреки това, то е ортонормално, ако и само ако е изпълнено допълнително условие – за всеки вектор u в S е изпълнено [u, u]=1.
- Всяко ортонормално множество е ортогонално, но не и обратното.
- Всеки ортогонален набор съответства на уникален ортонормален набор, но ортонормален набор може да съответства на много ортогонални набори.
