Интеграл на Риман срещу интеграл на Лебег
Интегрирането е основна тема в математиката. В по-широк смисъл интеграцията може да се разглежда като обратен процес на диференциация. При моделиране на проблеми от реалния свят е лесно да се пишат изрази, включващи производни. В такава ситуация е необходима операция за интегриране, за да се намери функцията, която е дала конкретната производна.
От друг ъгъл, интегрирането е процес, който сумира произведението на функция ƒ(x) и δx, където δx има тенденция да бъде определена граница. Ето защо ние използваме интеграционния символ като ∫. Символът ∫ всъщност е това, което получаваме чрез разтягане на буквата s, за да се отнася до сумата.
Интеграл на Риман
Разгледайте функция y=ƒ(x). Интегралът от y между a и b, където a и b принадлежат на множество x, се записва като b ∫ a ƒ(x) dx=[F (x)] a → b =F (b) – F (a). Това се нарича определен интеграл на еднозначната и непрекъсната функция y=ƒ(x) между a и b. Това дава площта под кривата между a и b. Това също се нарича интеграл на Риман. Интегралът на Риман е създаден от Бернхард Риман. Интегралът на Риман на непрекъсната функция се основава на мярката на Йордан, следователно, той също се определя като граница на сумите на Риман на функцията. За функция с реална стойност, дефинирана на затворен интервал, интегралът на Риман на функцията по отношение на дял x1, x2, …, x n дефиниран в интервала [a, b] и t1, t2, …, t n, където xi ≤ ti ≤ xi+1 за всяко i ε {1, 2, …, n}, Риманова сума се дефинира като Σi=o до n-1 ƒ(ti)(xi+1 – xi).
Интеграл на Лебег
Лебег е друг тип интеграл, който покрива голямо разнообразие от случаи, отколкото интеграла на Риман. Интегралът на Лебег е въведен от Анри Лебег през 1902 г. Интеграцията на Лебег може да се разглежда като обобщение на интеграцията на Риман.
Защо трябва да изучаваме друг интеграл?
Нека разгледаме характеристичната функция ƒA (x)={0 if, x not ε A1 ако, x ε Aна множество A. Тогава крайна линейна комбинация от характеристични функции, която се дефинира като F (x)=Σ ai ƒ E i(x) се нарича проста функция, ако E i е измеримо за всяко i. Интегралът на Лебег от F (x) върху E се означава с E∫ ƒ(x)dx. Функцията F (x) не е интегрируема по Риман. Следователно интегралът на Лебег е перифразиран интеграл на Риман, който има някои ограничения върху функциите, които трябва да бъдат интегрирани.
Каква е разликата между интеграла на Риман и интеграла на Лебег?
· Интегралът на Лебег е обобщаваща форма на интеграла на Риман.
· Интегралът на Лебег позволява изброима безкрайност от прекъсвания, докато интегралът на Риман позволява краен брой прекъсвания.
