Определени срещу неопределени интеграли
Считането е важен клон на математиката и диференциацията играе критична роля в смятането. Обратният процес на диференцирането е известен като интегриране, а обратният е известен като интеграл, или просто казано, обратният процес на диференцирането дава интеграл. Въз основа на резултатите, които произвеждат, интегралите се разделят на два класа; определени и неопределени интеграли.
Повече за неопределените интеграли
Неопределеният интеграл е по-скоро обща форма на интегриране и може да се тълкува като антипроизводна на разглежданата функция. Да предположим, че диференцирането на F дава f, а интегрирането на f дава интеграла. Често се записва като F(x)=∫ƒ(x)dx или F=∫ƒ dx, където и F, и ƒ са функции на x, а F е диференцируема. В горната форма той се нарича интеграл на Райман и получената функция придружава произволна константа. Неопределеният интеграл често произвежда семейство от функции; следователно интегралът е неопределен.
Интегралите и процесът на интегриране са в основата на решаването на диференциални уравнения. Въпреки това, за разлика от диференциацията, интеграцията не винаги следва ясна и стандартна рутина; понякога решението не може да бъде изразено изрично чрез елементарна функция. В този случай аналитичното решение често се дава под формата на неопределен интеграл.
Повече за определените интеграли
Определените интеграли са много ценените двойници на неопределените интеграли, където процесът на интегриране всъщност произвежда крайно число. Може да се дефинира графично като площта, ограничена от кривата на функцията ƒ в даден интервал. Всеки път, когато интегрирането се извършва в рамките на даден интервал на независимата променлива, интегрирането произвежда определена стойност, която често се записва като a∫bƒ(x) dx или a∫b ƒdx.
Неопределените интеграли и определените интеграли са свързани помежду си чрез първата фундаментална теорема на смятането и това позволява определеният интеграл да бъде изчислен с помощта на неопределените интеграли. Теоремата гласи a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), където F и ƒ са функции на x, и F е диференцируема в интервала (a, b). Като се има предвид интервалът, a и b са известни съответно като долна граница и горна граница.
Вместо да спира само с реални функции, интегрирането може да се разшири до сложни функции и тези интеграли се наричат контурни интеграли, където ƒ е функция на комплексната променлива.
Каква е разликата между определени и неопределени интеграли?
Неопределените интеграли представляват анти-производното на функция и често семейство от функции, а не определено решение. При определени интеграли интегрирането дава крайно число.
Неопределените интеграли асоциират произволна променлива (следователно семейството от функции) и определените интеграли нямат произволна константа, а горна граница и долна граница на интегриране.
Неопределеният интеграл обикновено дава общо решение на диференциалното уравнение.
